Симметрические многочлены

Пусть $\mathbb{F}$ - поле, тогда $\mathbb{F}[x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}]$ - многочлены от переменных $x_{1}, \dots, x_{n}$ $f \in \mathbb{F}[x_{1}, \dots, x_{n}]$ имеет вид: $$f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) = \sum A_{k_{1}, k_{2},\dots, k_{n}} x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}}\dots x_{n}^{k_{n}}$$ **Мультистепенью** называется кортеж $(k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n})$ **Степенью** называют наибольшую сумму степеней каждого из мономов.

Пусть $\pi$ - перестановка чисел от $1$ до $n$. Многочлен называется симметрическим, если $$\forall{\pi}\mathpunct{:}~~ f(x_{1}, x_{2},\dots, x_{n}) = f(x_{\pi(1)}, x_{\pi(2)},\dots, x_{\pi(n)})$$

**Элементарными** называются симметрические многочлены: $$\begin{align} \sigma_{1} &= x_{1} + x_{2} + \dots +x_{n} \\ \sigma_{2} &= x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + \dots + x_{1}x_{n} + x_{2}x_{n} + .. x_{n-1} x_{n} \\ \sigma_{3} &= x_{1}x_{2}x_{3} + \dots \\ \sigma_{4} &= x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} + \dots \\ \dots \\ \sigma_{k} &= x_{1}x_{2}\dots x_{k} + \dots \end{align}$$ (сумма всех возможных произведений $k$ различных переменных)